양자역학 직관 실험실 6단계

파동묶음과 터널링

넘어갈 힘이 모자란데 일부가 벽 너머에 가 있습니다

6단계 5단계까지 상태는 두 개뿐이었습니다. 두 상태짜리 장난감에서만 벌어지는 일일까요. 같은 규칙을 연속으로 늘려도 그대로입니다. 넘을 힘이 없는 것이 벽을 넘습니다.

파동묶음 하나를 벽에 던집니다. 벽 높이와 두께를 바꿔 가며 얼마나 새어 나가는지 봅니다.

실험 설정

2.00

중심 파수 k₀ = 2.00

3.00
1.00
적분기

오일러로 바꾸면 노름이 발산합니다.

예측하고 던지기

0%

던지기 전에 정하세요.

던지고 나면 파동이 멈춥니다. 그 위에서 알갱이를 한 알씩 잡아 보세요. 잡을 때마다 한 자리에서만 잡힙니다.

결과

시간0.0
검출한 알0
그중 벽 너머아직 없음
파동으로 잰 T아직 없음
되돌아온 비율 R아직 없음
노름1.000000

측정한 투과율 넘을 힘이 있어야 넘는다는 그림 내 예측

넘을 힘이 있어야 넘는다는 그림

공을 언덕으로 굴리는 그림입니다. 운동에너지가 언덕 높이보다 작으면 도로 굴러 내려옵니다. 넘으려면 넘을 힘이 있어야 합니다. 회색 계단이 그 예측이고 장벽 높이에서 0에서 1로 한 번에 뜁니다.

파동묶음을 던져 보세요. 에너지가 장벽보다 낮은데도 벽 너머에서 확률이 잡힙니다. 장벽을 얇게 하거나 낮출수록 그 값이 커집니다. 벽 안에서 파동은 진동하지 않고 지수로 잦아드는데 벽이 끝나기 전에 다 잦아들지 않으면 반대편으로 새어 나갑니다.

적분기를 잘못 고르면 숫자가 물리와 무관해집니다

슈뢰딩거 방정식은 확률의 총합을 보존합니다. 이걸 지키지 못하는 계산법을 쓰면 결과가 물리와 아무 상관이 없어집니다. 명시적 오일러로 바꿔 보세요. 노름이 몇십 스텝 만에 폭발합니다. 크랭크 니콜슨은 케일리 변환이라 정확히 유니터리입니다. 노름이 소수점 아홉 자리까지 그대로입니다.

이 프로젝트에서 제일 위험한 실패는 그럴듯해 보이는 틀린 숫자입니다. 그래서 노름을 화면에 계속 띄워 둡니다.

이 실험이 반증하지 않는 것

터널링은 고전 파동에도 있습니다. 전반사가 일어나는 경계면 너머에도 소멸파가 스며듭니다. 두 번째 매질을 가까이 가져가면 빛이 새어 나갑니다. 수식이 같습니다. 양자적인 부분은 이것이 알갱이 하나가 통과할 확률이라는 점입니다.

수식 보기
자연 단위 ħ = 1, m = 1 i ∂ψ/∂t = H ψ, H = −½ ∂²/∂x² + V(x) 크랭크 니콜슨 ( I + i H Δt/2 ) ψⁿ⁺¹ = ( I − i H Δt/2 ) ψⁿ 케일리 변환이라 정확히 유니터리다. 삼중대각이라 토머스 알고리즘으로 푼다. 명시적 오일러 ψⁿ⁺¹ = ψⁿ − i H Δt ψⁿ 는 매 스텝 노름이 √(1 + (EΔt)²) 배로 커진다. 격자 최대 운동에너지가 (π/Δx)²/2 라 발산이 빠르다. 사각 장벽의 투과 계수 E < V₀ : T(E) = [ 1 + V₀² sinh²(κa) / (4E(V₀−E)) ]⁻¹, κ = √(2(V₀−E)) E > V₀ : T(E) = [ 1 + V₀² sin²(k′a) / (4E(E−V₀)) ]⁻¹, k′ = √(2(E−V₀)) 파동묶음은 단일 에너지가 아니므로 운동량 분포로 가중해야 한다. |φ(k)|² = √(2σ²/π) · exp( −2σ²(k − k₀)² ) T_예측 = ∫ |φ(k)|² T(E(k)) dk, E = k²/2, k > 0 이산화 함정 두 가지 장벽을 x₁ ≤ x ≤ x₂ 로 잡으면 격자칸이 하나 더 들어가 실효 두께가 a + Δx 가 된다. x₁ ≤ x < x₂ 로 잡아야 한다. 3점 라플라시안의 군속도는 k 가 아니라 sin(kΔx)/Δx 다. 오차는 Δx² 에 비례한다.

근거 문서는 references/physics-notes.md 6단계 절이다.